进行工程索赔的流程是：在事件发生的28天内由承包人向工程师发出索赔意向通知，工程师对承包人的索赔申请进行审核，认可该项索赔后通知承包人，发包人审批工程师的索赔处理证明，承包人作出是否接受最终索赔的决定。